拓万博官网手机版扑群就是一个群X

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文章关键词:万博manbetx网址,拓扑群

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  设σ - 有限测度空间(X,S,μ)中,μ不恒等于零,X是一个群,万博官网手机版而且σ - 环S和测度μ对于左转移都是不变的,由等式S(x,y)=(x,xy)确定的,X*X在它本身上的变换S是保测性变换,则(X,S,μ)是一个可测群。

  按照定义,拓扑群就是一个群X,它具有满足某种可分公理的拓扑结构,并且将(x,y)变为x

  y(X*X在X上)的变换是连续的。为了我们应用方便起见,我们要以另外一个定义来代替它。这个新的定义要求:由等式S(x,y)=(x,xy)确定的(X*X在它本身上的)变换S是一个同胚。两个定义是等价的。事实上,如果X是在原来的定义下的拓扑群,则S是连续的;又因为S显然是一个一一变换,并且S

  随之以X*X在X上的射影所成的变换也是连续的(在X是数直线并以加法作为群的运算法则的场合,变换S的几何意义很容易想象:它使平面上每一个点(x,y)沿着垂直方向移动一个线段,万博官网手机版这个线]

  有了上面的讨论,再加上我们已经知道在每一个局部紧拓扑群里有一个哈尔测度存在,我们现在引进下述与拓扑群相类似的测度论方面的概念。设σ - 有限测度空间(X,S,μ)具有下列性质

  (d)由等式S(x,y)=(x,xy)确定的,X*X在它本身上的变换S是保测性变换

  则称(X,S,μ)是一个可测群(S对于左转移的不变性是指,对于X中每一个x以及S中每一个E,xE∈S。和通常一样,X*X的可测子集是指σ - 环S×S中的集)。

  设X是局部紧群,S是X中全体贝尔集类,μ是一个哈尔测度。因为S是一个同胚(因而保持贝尔可测性),并且X*X中全体贝尔集类与S*S重合,所以(X,S,μ)是一个可测群。我们在下面对于可测群的讨论,其目的在于说明,只从测度论的观点来研究局部紧拓扑群,可以得到怎样的结论。

  设X是任意可测空间(特别是,若X是任意可测群),则由等式R(x,y)=(y,x)确定的,X*X在它本身上的一一变换R是保测性变换——要证明这个事实,只需注意到下述极容易验证的事实:如果E是可测矩形,则R(E)和R

  E)(=R(E))都是可测矩形。因为保测性变换的乘积仍是保测性变换,所以上述事实给出了在一个可测群里的大量保测性变换——S和R的一切乘幂的乘积。除了变换S以外,我们还时常要用到它的“反射”T=R

  (d)由等式S(x,y)=(x,xy)确定的,X*X在它本身上的变换S是保测性变换

  Paul R.Halmos, 王建华. 测度论[M]. 科学出版社, 1958.

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