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  拓扑群理论下的连续周期函数分类_电子/电路_工程科技_专业资料。第 1 9卷 第 4 期 2 0 1 6年 1 1月 扬州大学学报 ( 自然 科 学 版 ) J o u r n a l o f Ya n g z h o u Un i v e

  第 1 9卷 第 4 期 2 0 1 6年 1 1月 扬州大学学报 ( 自然 科 学 版 ) J o u r n a l o f Ya n g z h o u Un i v e r s i t y( Na t u r a l Sc i e nc e Ed i t i o n) Vo 1 . 1 9 No 。 4 NOV .2 Ol 6 拓 扑 群 理 论 下 的 连 续 周 期 函 数 分 类 戴 韵 ,沈 荣 鑫 , 徐 智 勇 ,周 斌 ( 泰 州 学 院 数 理 学 院 ,万博官网手机版江 苏 泰 州 2 2 5 3 0 0 ) 摘要 : 证 明 了定 义 在 拓 扑 加 群 上 连 续周 期 函 数 的 所 有 周 期 构 成 一 个 闭 子 群 ,作 为 应 用 给 出 了定 义 在 实 数 集 和 复 数 集 上 连 续 周 期 函数 的分 类 . 关键词 : 周 期 函数 ;拓 扑 群 ;闭 子 群 中图分类号 : O 1 8 9 . 1 文献标志码 : A 文章 编 号 : 1 0 0 7— 8 2 4 X( 2 O 1 6 ) O 4— 0 0 2 2 — 0 3 DOI :1 0 . 1 9 4 1 1 / j . 1 0 0 7—8 2 4 x . 2 0 1 6 . 0 4 . 0 0 6 众所 周 知 ,周期 函数 在分 析学 理论 和实 际应 用 中具 有重 要作 用 .定义 在 实 数集 上 的周 期 函数 及 其 最小 正周 期 已被广 泛研究 , 近年来, 在 更 为 广 泛 的数 学 结 构 上 定 义 的周 期 函数 引 起 了研 究 者 的兴 趣. B e h r o u z i E 门 研 究 了广群 上 的几乎 周期 函数 , 证 明 了定 义 在 广群 上 的所 有几 乎 周 期 函数是 一 个 c’ 代数 ; B r i d s o n等[ 2 3 研究 了群 上 的周 期 自同构 ; B o u z i a d 【 3 ] ,S h t e r n _ 4 ] ,Ke y a n t u o _ 5 J ,Al a s t e _ 6 等研 究 了拓 扑加群 上 周期 函数 的相 关性 质. 本 文通 过探 究定 义 在 拓 扑加 群 上 周期 函数 与 其全 体 周 期 构成 的子群 之 间的 关 系 , 证 明 了定 义在 拓扑 加群 上连续 周 期 函数 的全体 周期 构成 拓扑 群 的一个 闭子群 , 进 而通 过研 究实 数加 群和 复数加 群 的闭 子群 , 得 到定 义在实 数集 和 复数集 上连 续周 期 函数 的分类 。 1 周 期 构 成 的 闭子 群 定义 1 . 1 设 G 是赋予 拓 扑结构 的 群 ,若群 运算 和群 的逆 运算 在 该拓 扑 下连 续 ,则称 G是 拓 扑 群.若 G还 是交 换群 , 恻 此时 称 G是拓 扑加 群.用加 法“ +” 表示群 运 算 ,用零 元 “ 0 ” 表 示 单位 元 , 用 负元 “ 一z ” 表 示元 素“ X ” 的逆元. 。 定义 1 . 2 设 . 厂 : G — R是定 义在 拓 t t d J U 群 G上 的 函数 , TEG . 若 V E G, 都有 f( x +T) =, ( z ) ,万博官网手机版 则 称 T是 厂的一个 周期 .. 厂的全 体周期 构成 的集 合 记为 P( 厂 ) . 若 P( ) ≠{ 0 ) , 则称 /是 周期 函数 . 本 文未 给 出定义 的术 语 和符号 可参 见文 献 [ 8 — 9 ] . 引理 1 . 3 设. 厂 是 拓扑 加群 G 上 的周 期 函数 , 则 P( , ) 是 G的 子群. 证明 T) 一 显然, G上 的零元 0在 P( ) 中, 故 尸( 厂 ) ≠ . V T , T z EP( 厂 ) , V, 2 7 ∈G,由 f ( x +T 1 + T 。 ) :- 厂 ( + 丁 ) 一L 厂 ( z ) 知 T +丁 2 E P( 厂 ) . V z ∈G, 若 T∈P( 厂 ) , 则 f( x+( 一T) ) 一f ( x+ ( 一丁 ) + , 厂 ( ) , 从 而 一TE P( , 厂 ) .综 上 , P( 厂 ) 是 G的子 群. 引理 1 . 4 设 . 厂是拓 t t , ] J t l 群 G 上 的连续 周期 函数 , 则 P( 厂 ) 是 G 的闭子 集. 证 明 设 SE P( 厂 ) ,下面证 明 SE P( , ) .反证 法 . 假 设存 在 z 。 ∈G使 得 厂( 。 ) ≠f ( x 。万博官网手机版 +S ) ,记 £ 一2 _ 。 { f ( x 。 - t - S ) 一f ( x 。 ) I , 则£ >0 . 由. 厂连 续 知 G 上 存 在 z 。 - t - S 的开 邻 域 U, 使得 V ∈U, 有 l 厂 ( ) 一f ( x 。 +S ) l <E . 于是 , { 2 . 7 一z 。 1 . 2 7 ∈U) 是 G 上 S 的 一 个 开 邻 域 . 由 S∈ P( ) 知 存 在 T∈ 收 稿 日期 :2 0 1 6 一O 5— 0 7 .* 联系人 , E — ma i l :s r x 2 0 2 1 2 0 2 1 @1 6 3 . c o n. r 基 金 项 目 :国 家 自然科 学 基 金资 助 项 目 ( 1 1 5 0 1 4 0 4 ) ;江 苏 省 自然 科 学 基 金 资 助项 目( B K2 0 1 4 0 5 8 3 ) ;江 苏 省 高 校 自然 科 学 基 金 资 助项 目( 1 4 KJ B

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